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Vediamo qualche applicazione nel gioco della carta in qualche caso comune di caccia a una carta specifica.
Abbiamo 11 carte, ci manca il Re. In assenza di informazioni faremo l’impasse, ma supponiamo che la dichiarazione o i primi giri ci abbiano indicato che un seme è diviso 5 – 3 tra gli avversari (con Est più corto). Muoviamo piccola dal morto, Est fornisce la piccola e ci guarda sorridendo. Che si fa?

Delle disposizioni possibili all’inizio, ne restano due sole possibili: Re secondo a destra e Re secco a sinistra. Applichiamo la formula riportata sopra: abbiamo localizzato 8 carte e la probabilità iniziale che Est, della cui mano conosciamo 3 carte, abbia le 2 carte mancanti è:

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La probabilità che ne abbia una sola è:

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e in questo caso il Re si trova secco in una delle due mani metà delle volte. Quindi la probabilità iniziale della 2 – 0 era 29.41%, la probabilità del Re secco in Ovest era 26.14%, ora le probabilità sono cambiate, ma non serve ricalcolarle (con le formulette riportate sopra): la 2 – 0 resta preferibile e l’impasse conviene.

Abbiamo 9 carte, ci manca la Donna, sappiamo della 5 – 3, battiamo un colpo e tutti rispondono, presentiamo una cartina ed Est segue con l’ultima cartina (ma non sorride più, perché gli abbiamo beccato il Re alla mano precedente). Le alternative rimaste sono: 3 – 1 con Donna terza in Est e 2 – 2 con Donna in Ovest. Calcoliamo come sopra la probabilità iniziale della terza in Est:

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ma se c’è la 3 – 1, la Donna è terza solo 3 volte su 4, quindi la probabilità iniziale della Donna terza in Est è:

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La 2 – 2 ha probabilità:

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metà delle volte la Donna sarà in Ovest quindi la probabilità del caso che c’interessa è

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Vince l’impasse di stretta misura.
Piccola variante: abbiamo il singolo al morto e non possiamo battere un onore prima di provare l’impasse. Posto che la 4 – 0 non ci interessi (caduta assicurata) che si fa? L’impasse al primo giro vince con la Donna seconda o terza in Est: probabilità iniziale

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la battuta vince con la Donna seconda comunque e secca in Ovest (abbiamo visto che non è secca in Est): probabilità iniziale

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Meglio battere.

Ancora un caso con la solita 5 – 3 avversaria: mancano 6 carte col Fante, abbiamo il 10 in mano. Prima variante: 4 – 3 tra mano e morto; due battute, cartina dal morto, Est nasconde le carte sotto il tavolo, poi sfila l’ultima scartina (lo abbiamo beccato due volte, sta diventando sospettoso). Stavolta abbiamo in lizza 4 – 2 con Fante quarto o 3 – 3 col Fante in Ovest. Il primo caso aveva probabilità iniziali:

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col Fante quarto 4 volte su 6 fa:

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Il secondo valeva:

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da dimezzare per il Fante in Ovest. Vittoria larga per l’impasse.

Seconda variante: stessa situazione con onore secondo al morto, situazione tale che con la 5 – 1 saremmo comunque sotto. Battiamo l’onore del morto ed Est ci consegna una cartina al secondo giro, poi ci guarda torvo e pianta un coltellaccio sul tavolo, tenendo la mano sull’impugnatura.
Situazione appena più complicata; abbiamo già visto che il Fante quarto in Est aveva probabilità iniziale:

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mentre il Fante terzo in Ovest (ma anche in Est) valeva solo:

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resta da calcolare la probabilità del Fante secondo in Ovest che è uguale a 2 volte su 6 la probabilità della quarta in Est ovvero

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Allora con l’impasse vinciamo col Fante terzo o quarto in Est, probabilità iniziali:

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battendo vinciamo col Fante terzo dovunque o secondo in Ovest, probabilità iniziali

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Si batte.

Ora, in questo caso il comportamento di Est ci indica che ha il Fante, ma la prudenza suggerisce di sbagliarlo e seguire la linea dalle maggiori probabilità. Dove voglio arrivare? Le linee indicate hanno differenze di probabilità piccole, a volte dell’ordine di un punto percentuale o due e ben ricordo che un componente del Blue Team scrisse che “Un’occhiata sospettosa di un avversario vale ben più di un misero 2%.” Con quello che vincevano, forse è un parere da ascoltare. Come a dire che qualsiasi minima indicazione raccolta in dichiarazione o in controgioco vale più di queste asettiche considerazioni di differenze di probabilità, che restano una valida risorsa solo in assenza di altri elementi (e permettono una valida difesa nel post-mortem).

Attenzione che le probabilità sin qui indicate sono quelle al punto critico, non nella situazione iniziale, che sono maggiori; semplicemente i primi giri hanno escluso alcune combinazioni vincenti senza sforzo, causa caduta dell’onore cercato.

Non è pensabile riuscire a fare in fretta al tavolo calcoli come quelli riportati, né imparare a memoria le tabelle di probabilità di distribuzione risultanti, perché bisogna considerare tante altre disposizioni, come un colore avversario diviso 6 – 2, 6 – 3, 7 – 2… Per fortuna spesso possiamo riassumere varie tabelle in una regola semplice. Per esempio, dai casi esaminati (e dagli altri che ho esaminato, senza riportarli) deduciamo che se sono note almeno due carte in più a sinistra, conviene l’impasse al primo giro contro il Re, al secondo contro la Donna, al terzo contro il Fante, ma non prima (e non potevi scriverlo subito? No, perché nessuno avrebbe letto il resto e con la fatica che ho fatto a fare i conti…).

Notate, “ almeno due carte in più” significa non solo un seme 5 – 3, ma anche 3 – 1 e persino 2 – 0. Basta conoscere due carte qualsiasi in più a sinistra, non necessariamente la distribuzione dell’intero seme: se a senza Ovest attacca di Re (chiede lo sblocco) ed Est risponde col 10 mentre l’Asso secco del morto prende, evidentemente conosco Re, Donna e Fante a sinistra, Dieci a destra. Due carte in più, anche se la distribuzione del seme mi è ignota; posso applicare la regola.

In effetti dal punto di vista matematico ho usato un cannone per sparare a una zanzara. Quando manca all’appello una sola carta i calcoli si possono evitare: basta contare i posti liberi. Torniamo al caso del seme con divisione 5 – 3 nota, 9 carte in linea, manca la Donna. Preso l’attacco, battuto l’onore e giocata la cartina dal morto, abbiamo visto 3 + 2 carte di Est (ha già risposto sul secondo giro), 5 + 1 di Ovest. Avanzano 8 posti liberi a destra, 7 a sinistra, la Donna sarà a destra 8 volte contro 7 a sinistra, conviene fare l’impasse. Se tornate ai conti precedenti vedete che, infatti, il rapporto tra le due probabilità iniziali è

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La stessa semplificazione vale negli altri casi. Ho preferito un metodo più complicato per i calcoli, perché permette di arrivare alla soluzione corretta anche quando mancano all’appello varie carte. Ne riparleremo (consideratela una minaccia).

E se conosciamo una sola carta in più a sinistra? Per esempio i primi giri o la dichiarazione svelano un seme diviso 4 – 3? Allora è un guaio: bisogna indovinare, perché nei tre casi esaminati battuta e impasse vanno esattamente alla pari. Questa volta vi lascio i calcoli come esercizio; per vedere che le due linee sono alla pari usiamo invece il semplice metodo dei posti liberi. Al momento critico, quando manca all’appello la sola carta importante, c’è stesso numero di posti liberi dalle due parti: la carta in più che conosciamo a sinistra è compensata dalla carta in più che Est ha dovuto giocare nel giro in corso. Per esempio, sappiamo che un seme è diviso 4 – 3; a caccia della Donna (avendone 9) battiamo un onore dal morto ed Est segue con una cartina al secondo giro; allora Est ha 3 carte note e 2 giocate, Ovest ha 4 carte note, una giocata: 8 carte sconosciute dalle due parti, tirate una monetina.