Matematica_art

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Resta ora da vedere come usare questi attrezzi.
Ah, no, un’annotazione preliminare: per evitare di ripetermi infinite volte, avviso che le frazioni saranno sempre riportate esattamente, mentre i calcoli delle probabilità saranno sempre arrotondati all’ultima cifra riportata e ometterò sempre la parola “circa”.

Cominciamo con qualche esempio molto semplice: Qual è la probabilità che un seme sia diviso 4 – 2 tra gli avversari, ovvero, come sono state calcolate le tabelle che tutti conosciamo?
Prendiamo in considerazione la mano di Est (mi fa meno fatica scriverlo di Ovest): quante mani diverse possiamo costruire? Ci sono 26 carte sconosciute, tra queste possiamo scegliere quelle di Est in

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modi.

Quante mani posso costruire che contengano esattamente 2 carte del seme che mi interessa? Posso scegliere le 2 carte, tra le 6 mancanti, in

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modi e in ciascun caso posso completare la mano con 11 carte, scelte tra le 20 restanti degli altri semi, in

Allora, essendo i vari eventi equiprobabili e mutuamente esclusivi, come spiegato sopra la probabilità sarà data dal rapporto tra il numero di eventi favorevoli e il numero di eventi possibili, ossia:

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Semplificando la frazione (lavoro concettualmente banale, ma piuttosto noioso) otteniamo:

La probabilità che Est abbia 4 carte del seme interessante è la stessa, quindi la probabilità di una divisione 4 – 2 è:

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quel 48.45% che molti giocatori approssimano con 48%.

Lavorando allo stesso modo possiamo ricavare una formula generale: se ci mancano m carte in un seme, la probabilità che Est ne abbia esattamente k è:

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Tutte le tabelle di base sulla distribuzione dei resti sono state ricavate con questa formula (e una calcolatrice!).

Vediamo un esempio meno familiare: Sta per iniziare la dichiarazione, ho 5 picche in mano; qual è la probabilità di trovare un fit 5 – 3 nel seme?
Mancano all’appello 39 carte, 8 delle quali di Picche ma per il resto il problema non è dissimile dal precedente. Il risultato è:

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ossia 30.58%. Non male, ma a me i fit “abbondanti” non fanno schifo: mi interessa in realtà la probabilità di trovare almeno 3 carte di Picche al compagno. Purtroppo l’unico modo per calcolare le corrispondenti probabilità è sommare la probabilità che abbia esattamente 3 carte, esattamente 4 carte… fino a 8. Conto concettualmente facile, ma nella pratica alquanto noioso, senza avere almeno una calcolatrice programmabile. Il risultato è:

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un buon 54.37%.

Possiamo rendere un poco più generale la formula calcolata sopra, sempre ragionando allo stesso modo per considerare il caso in cui delle 26 carte coperte ne abbiamo individuate j, n delle quali in mano a Est. Il ragionamenti è lo stesso di prima, con 26 – j al posto di 26 (le carte sconosciute) e 13 – n al posto di 13 (le carte ignote di Est). Arriviamo così a stabilire che se j carte sono state localizzate, ci mancano m carte in un seme, la probabilità che Est, che ha n carte conosciute, ne abbia esattamente k è:

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Per preoccupante che sembri, la formula non è veramente peggiore delle precedenti ed in compenso è quella di gran lunga più utile.
Già, perché le ben note tabelle di distribuzione sono valide solo prima dell’attacco. Nel momento in cui dobbiamo prendere una decisione, però, sono stati giocati uno o più giri, che ci hanno consentito di individuare varie carte, a volte solo le due apparse al primo giro, a volte la divisione di un seme. Queste informazioni extra modificano profondamente le probabilità, anche se spesso i giocatori, sbagliando, non ne tengono conto.

Mercoledì vedremo qualche applicazione nel gioco della carta in qualche caso comune di caccia a una carta specifica!